GRB Model Calculations

Capitolul 1: Introducere și Context

Acest document prezintă în detaliu un model propus pentru a explica Gamma-Ray Bursts (GRB-uri). Modelul presupune că energia se acumulează intern în gaura neagră prin procese cum ar fi fuziunea protonilor sau accreția, iar odată ce se atinge un prag critic, energia este eliberată rapid prin mecanisme precum efectul Penrose și jeturile relativiste. Astfel, modelul poate explica atât GRB-urile asociate cu evenimente externe (colaps supernovic, fuziunea stelelor neutronice) cât și GRB-urile "orfane" (fără asociere).

Capitolul 2: Calculul Razei Schwarzschild

Formula:

R_s = 2GM / c²

• G = 6.67430 × 10⁻¹¹ m³/kg/s²
• c = 3.0 × 10⁸ m/s
• M = masa găurii negre

Exemplu pentru o gaură neagră de 10 mase solare:

Masa: M = 10 M_☉ ≈ 1.989 × 10³¹ kg

Calcul:
R_s = [2 × 6.67430 × 10⁻¹¹ × 1.989 × 10³¹] / (3.0 × 10⁸)² ≈ 2.95 × 10⁴ m (29.5 km)

Capitolul 3: Calculul Densității Medii

Formula:

ρ = 3M / (4πR³)

Exemplu (10 mase solare):

ρ ≈ [3 × 1.989 × 10³¹] / [4π × (2.95 × 10⁴)³] ≈ 1.85 × 10¹⁷ kg/m³

Capitolul 4: Modelul Difuziei Radiative (Analog Soarelui)

Fotonii din interiorul găurii negre ies printr-un proces de difuzie radiativă, similar cu drumul aleator în interiorul Soarelui. Dacă un foton face N pași, fiecare de lungime medie liberă λ, distanța parcursă este:

R ≈ √N · λ, deci N ≈ (R/λ)²

Fiecare pas durează Δt ≈ λ/c, deci timpul total de difuzie este:

t_diff ≈ (R/λ)² · (λ/c) = R² / (cλ)

Se introduce adesea un factor de 3, astfel: t_diff ≈ 3R²/(cλ)

Determinarea lungimii medii libere (λ):

λ = 1 / (σ_T n_e), unde σ_T ≈ 6.6524 × 10⁻²⁹ m² și n_e = ρ/m_p cu m_p ≈ 1.67 × 10⁻²⁷ kg.

Pentru ρ ≈ 1.85 × 10¹⁷ kg/m³, n_e ≈ 1.11 × 10⁴⁴ m⁻³ și λ ≈ 1.36 × 10⁻¹⁶ m.

Calculul timpului de difuzie:

Pentru R = 2.95 × 10⁴ m:
t_diff ≈ [3 × (2.95 × 10⁴)²] / [3.0 × 10⁸ × 1.36 × 10⁻¹⁶] ≈ 6.41 × 10¹⁶ secunde

Convertit în ani: ≈ 2.03 × 10⁹ ani (2 miliarde de ani)

Aceasta indică că, prin difuzie radiativă, fotonii ar ieși mult prea lent pentru a explica evenimente rapide.

Capitolul 5: Modelul Fuziunii Interne și Energia Protonilor

Energia gravitațională a unui proton la R/2 se calculează ca:

E_p = (G M m_p) / R_s

Pentru M = 1.989 × 10³¹ kg, m_p = 1.67 × 10⁻²⁷ kg, și R_s = 2.95 × 10⁴ m:
E_p ≈ 7.5 × 10⁻¹¹ J ≈ 4.68 × 10⁸ eV (≈468 MeV)

Capitolul 6: Efectul Penrose și Jeturile Relativiste

Efectul Penrose

Fotonii ajung la zona ergosferei și sunt accelerați prin extracția energiei din rotația găurii negre. Factorul de amplificare este:
E_Penrose = γ_Penrose × E_inițial

Presupunând γ_Penrose = 10, atunci:
E_Penrose ≈ 10 × 7.5 × 10⁻¹¹ J = 7.5 × 10⁻¹⁰ J ≈ 4.68 × 10⁹ eV (≈4.68 GeV)

Jeturile Relativiste

Jeturile pot amplifica și mai mult energia fotonilor. Dacă presupunem un factor Lorentz γ_jet = 1000, atunci:
E_final = γ_jet × E_Penrose = 1000 × 7.5 × 10⁻¹⁰ J = 7.5 × 10⁻⁷ J
Convertit: ≈ 4.68 × 10¹² eV (≈4.68 TeV)

Capitolul 7: Timpul de Ejectare prin Efectul Penrose și Jeturi

Timpul de accelerare prin efectul Penrose

Raza ergosferei:
R_erg = R_s × (1 + √(1 – (a/M)²))
Pentru R_s = 2.95 × 10⁴ m și a/M = 0.9:
R_erg ≈ 2.95 × 10⁴ × (1 + 0.436) ≈ 4.23 × 10⁴ m

Timpul de accelerare:
t_Penrose = R_erg / c ≈ 4.23 × 10⁴ m / (3.0 × 10⁸ m/s) ≈ 1.41 × 10⁻⁴ s (0.141 ms)

Timpul de transport prin jeturi relativiste

Presupunând o zonă de emisie L_emission = 1 × 10⁹ m și v_jet ≈ c (pentru γ_jet = 1000):
t_jet = L_emission / c ≈ 1 × 10⁹ m / (3.0 × 10⁸ m/s) ≈ 3.33 s

Timpul total de ejectionare

t_total = t_Penrose + t_jet ≈ 0.141 ms + 3.33 s ≈ 3.33 s

Capitolul 8: Tabel Comparativ – Energie și Timp

Capitolul 9: Concluzii Finale

- Modelul propus explică, prin procese interne (fuziunea protonilor, efectul Penrose, jeturi relativiste), evenimentele GRB extreme.
- Energia finală a fotonilor ejectați poate ajunge la ordinul TeV, iar timpul total de ejectionare este de ordinul a câteva secunde, compatibil cu GRB-urile extreme observate.
- Modelul poate explica și GRB-urile neasociate, deoarece energia este acumulată intern și eliberată brusc odată ce se atinge un prag critic.