_ Epifania zeta cuantică: fizicianul găsește o nouă abordare a unei enigme matematice de un milion de dolari

Numerele precum π, e și φ apar adesea în locuri neașteptate în știință și matematică. Triunghiul lui Pascal și șirul lui Fibonacci par, de asemenea, inexplicabil de răspândite în natură. Apoi este funcția zeta Riemann, o funcție înșelător de simplă care i-a lăsat perplexi pe matematicieni încă din secolul al XIX-lea. Cea mai faimoasă dilemă, ipoteza Riemann, este poate cea mai mare întrebare nerezolvată în matematică, Institutul de Matematică Clay oferind un premiu de 1 milion de dolari pentru o demonstrație corectă.

Fizicianul UC Santa Barbara Grant Remmen crede că are un o nouă abordare pentru explorarea particularităților funcției zeta. El a găsit un analog care traduce multe dintre proprietățile importante ale funcției în teoria câmpului cuantic. Aceasta înseamnă că cercetătorii pot acum să folosească instrumentele din acest domeniu al fizicii pentru a investiga funcția zeta enigmatică și ciudat de omniprezentă. Munca lui ar putea duce chiar la o demonstrare a ipotezei Riemann. Remmen își prezintă abordarea în jurnalul Physical Review Letters.

„Funcția zeta Riemann este această funcție matematică faimoasă și misterioasă care apare în teoria numerelor peste tot”, a spus Remmen, un savant postdoctoral la UCSB. Institutul Kavli pentru Fizică Teoretică. „A fost studiat de peste 150 de ani.”

O perspectivă exterioară

Remmen, în general, nu funcționează la rezolvarea celor mai mari întrebări din matematică. De obicei, el este preocupat să rezolve cele mai mari întrebări din fizică. În calitate de coleg fundamental în fizică la UC Santa Barbara, el își dedică atenția în mod normal unor subiecte precum fizica particulelor, gravitația cuantică, teoria corzilor și găurile negre. „În teoria modernă a energiei înalte, fizica celor mai mari scale și cele mai mici scale dețin ambele cele mai profunde mistere”, a remarcat el.

Una dintre specialitățile sale este teoria câmpului cuantic, pe care o descrie drept un „triumf”. a fizicii secolului al XX-lea”. Majoritatea oamenilor au auzit de mecanica cuantică (particule subatomice, incertitudine etc.) și de relativitate specială (dilatația timpului, E=mc2 și așa mai departe). „Dar cu teoria câmpului cuantic, fizicienii și-au dat seama cum să combine relativitatea specială și mecanica cuantică într-o descriere a modului în care se comportă particulele care se mișcă la sau aproape de viteza luminii”, a explicat el.

Teoria câmpului cuantic nu este exact o singură teorie. Este mai degrabă o colecție de instrumente pe care oamenii de știință le pot folosi pentru a descrie orice set de interacțiuni cu particule.

Remmen și-a dat seama că unul dintre conceptele din aceasta împărtășește multe caracteristici cu funcția zeta Riemann. Se numește amplitudine de împrăștiere și codifică probabilitatea mecanică cuantică ca particulele să interacționeze între ele. Era intrigat.

Amplitudinile de împrăștiere funcționează adesea bine cu momente care sunt numere complexe. Aceste numere constau dintr-o parte reală și o parte imaginară - un multiplu de √-1, pe care matematicienii îl numesc i. Amplitudinile de împrăștiere au proprietăți frumoase în planul complex. În primul rând, ele sunt analitice (pot fi exprimate ca o serie) în jurul fiecărui punct, cu excepția unui set select de poli, care se află toți de-a lungul unei linii.

„Asta părea similar cu ceea ce se întâmplă cu Riemann. zerourile funcției zeta, care toate par să se afle pe o linie”, a spus Remmen. „Și așa m-am gândit cum să determin dacă această similitudine aparentă este ceva real.”

Polii de amplitudine de împrăștiere corespund producției de particule, în care are loc un eveniment fizic care generează o particulă cu un impuls. Valoarea fiecărui pol corespunde cu masa particulei care a fost creată. Deci a fost o chestiune de a găsi o funcție care se comportă ca o amplitudine de împrăștiere și ai cărei poli corespund zerourilor netriviale ale funcției zeta.

Cu un stilou, hârtie și un computer pentru a-și verifica rezultatele, Remmen s-a pus pe treabă creând o funcție care avea toate proprietățile relevante. „Am avut ideea să conectez funcția zeta Riemann la amplitudini din spatele minții mele timp de câțiva ani”, a spus el. „Odată ce mi-am propus să găsesc o astfel de funcție, mi-a luat aproximativ o săptămână să o construiesc, iar explorarea completă a proprietăților ei și scrierea lucrării a durat câteva luni.”

Înșelător de simplu

La bază, funcția zeta generalizează seria armonică:

Această serie explodează până la infinit atunci când x ≤ 1, dar converge către un număr real pentru fiecare x > 1.

În 1859 Bernhard Riemann a decis să ia în considerare ce s-ar întâmpla atunci când x este un număr complex. Funcția, care poartă acum numele Riemann zeta, preia un număr complex și scuipă altul.

Riemann a decis, de asemenea, să extindă funcția zeta la numerele în care componenta reală nu era mai mare de 1 definindu-l în două părți: definiția familiară este valabilă în locurile în care funcția se comportă, iar o altă definiție implicită acoperă locurile în care ar exploda în mod normal la infinit.

Datorită unei teoreme în analiza complexă, matematicienii știu că există o singură formulare pentru această nouă zonă care păstrează fără probleme proprietățile funcției originale. Din păcate, nimeni nu a reușit să o reprezinte într-o formă cu o mulțime de termeni, ceea ce face parte din misterul care înconjoară această funcție.

Având în vedere simplitatea funcției, ar trebui să aibă câteva caracteristici frumoase. „Și, totuși, acele proprietăți ajung să fie diabolic de complicat de înțeles”, a spus Remmen. De exemplu, luați intrările în care funcția este egală cu zero. Toate numerele pare negative sunt mapate la zero, deși acest lucru este evident – ​​sau „banal”, după cum spun matematicienii – atunci când funcția zeta este scrisă în anumite forme. Ceea ce i-a uimit pe matematicieni este că toate celelalte zerouri non-triviale par să se afle de-a lungul unei linii: fiecare dintre ele are o componentă reală de ½.

Riemann a emis ipoteza că acest model este valabil pentru toate aceste non-uri. -zerouri banale, iar tendința a fost confirmată pentru primele câteva trilioane dintre ele. Acestea fiind spuse, există presupuneri care funcționează pentru trilioane de exemple și apoi eșuează la un număr extrem de mare. Deci, matematicienii nu pot fi siguri că ipoteza este adevărată până când nu este dovedită.

Dar dacă este adevărată, ipoteza Riemann are implicații de anvergură. „Din diverse motive, apare peste tot în întrebări fundamentale din matematică”, a spus Remmen. Postulate în domenii la fel de distincte precum teoria calculului, algebra abstractă și teoria numerelor se bazează pe ipoteza care este adevărată. De exemplu, demonstrarea acesteia ar oferi o explicație precisă a distribuției numerelor prime.

Un analog fizic

Amplitudinea de împrăștiere găsită de Remmen descrie două particule fără masă care interacționează prin schimbul unei mulțimi infinite. de particule masive, una câte una. Funcția are un pol - un punct în care nu poate fi exprimat ca o serie - corespunzător masei fiecărei particule intermediare. Împreună, polii infiniti se aliniază cu zerourile netriviale ale funcției zeta Riemann.

Ceea ce a construit Remmen este componenta principală a interacțiunii. Există infinit mai multe aspecte din ce în ce mai mici ale interacțiunii, care descriu procese care implică schimbul de particule masive multiple simultan. Aceste „amplitudini la nivel de buclă” ar fi subiectul lucrărilor viitoare.

Ipoteza Riemann presupune că zerourile netriviale ale funcției zeta au toate o componentă reală de ½. Traducerea acestui lucru în modelul lui Remmen: toți polii amplitudinii sunt numere reale. Aceasta înseamnă că, dacă cineva poate dovedi că funcția sa descrie o teorie cuantică consecventă a câmpului - și anume una în care masele sunt numere reale, nu imaginare - atunci se va dovedi ipoteza Riemann.

Această formulare aduce ipoteza Riemann într-un alt domeniu al științei și matematicii, unul cu instrumente puternice de oferit matematicienilor. „Nu numai că există această relație cu ipoteza Riemann, dar există o listă întreagă de alte atribute ale funcției zeta Riemann care corespund cu ceva fizic în amplitudinea de împrăștiere”, a spus Remmen. De exemplu, el a descoperit deja identități matematice neintuitive legate de funcția zeta folosind metode din fizică.

Lucrările lui Remmen urmează o tradiție a cercetătorilor care caută fizică pentru a arunca lumină asupra dilemelor matematice. De exemplu, fizicianul Gabriele Veneziano a pus o întrebare similară în 1968: dacă funcția Euler beta ar putea fi interpretată ca o amplitudine de împrăștiere. „Într-adevăr, se poate”, a remarcat Remmen, „și amplitudinea construită de Veneziano a fost una dintre primele amplitudini ale teoriei corzilor.”

Remmen speră să folosească această amplitudine pentru a afla mai multe despre funcția zeta. „Faptul că există toți acești analogi înseamnă că se întâmplă ceva aici”, a spus el.

Iar abordarea stabilește o cale pentru a putea demonstra ipoteza veche de secole. „Inovațiile necesare pentru a demonstra că această amplitudine provine dintr-o teorie legitimă a câmpului cuantic îți vor oferi, în mod automat, instrumentele de care aveți nevoie pentru a înțelege pe deplin funcția zeta”, a spus Remmen. „Și probabil că ți-ar oferi și mai mult.”

(Fluierul)